Блок 1 из 7 Бесплатно
Верные и неверные утверждения — Теория с примерами
№19 — из трёх геометрических утверждений нужно выбрать истинное (1 балл, ответ — номер). Это самое «бесплатное» геометрическое задание: достаточно знать основные факты и уметь придумывать контрпримеры. Оно относится к геометрии (задания 15–19), то есть помогает набрать 2 балла по геометрии для «тройки».
Теория: как проверять утверждения
1.Прочитай утверждение полностью. Слова «любой», «всякий», «всегда» означают: должно выполняться во всех случаях, поэтому одного контрпримера хватает, чтобы признать ложным.
2.Вспомни определение/теорему. Совпадает ли формулировка? (Свойство ≠ признак: «у ромба диагонали перпендикулярны» — верно, а «если диагонали перпендикулярны, то это ромб» — нет: есть другие фигуры.)
3.Попробуй найти контрпример. Нарисуй «неудобную» фигуру: тупоугольный треугольник, равнобедренную трапецию, ромб, который не квадрат, прямоугольник, который не квадрат.
4.Если контрпример не нашёлся — вероятно, утверждение верно. Проверь по списку классических фактов.
Запомни
Один контрпример разрушает утверждение «для всех». Но один пример не доказывает утверждение «для всех». Поэтому «проверил на квадрате — подходит» — не аргумент для общего утверждения.
Из мира игр и аниме
Контрпример — как «глитч» в игре: стоит найти один баг (одну ситуацию, где правило не работает), и «правило» сразу признаётся недействительным. Игроки в Skyrim и Dark Souls находят такие баги годами. Ты ищи их за 30 секунд.
«Банк» фактов: верно и неверно
Ниже — основные классические утверждения. Запомни их с «почему»: во многих вариантах №19 встречаются именно они (формулировки в экзамене могут быть другими, но смысл тот же).
Верные утверждения
| Утверждение | Почему верно |
|---|---|
| Сумма смежных углов равна 180^{{^\circ}}. | Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол. |
| Вертикальные углы равны. | Это теорема о вертикальных углах. |
| В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. | Свойство равнобедренного треугольника. |
| Сумма углов любого треугольника равна 180^{{^\circ}}. | Теорема о сумме углов треугольника. |
| Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. | Свойство ромба; они ещё и делят его углы пополам. |
| Диагонали прямоугольника равны. | Свойство прямоугольника (и признак: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник). |
| Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. | Свойство касательной. |
| Все квадраты подобны. | Любые два квадрата различаются только размером: стороны пропорциональны, углы по 90^{{^\circ}}. |
| Все равносторонние треугольники подобны. | Все углы по 60^{{^\circ}} — подобие по трём углам. |
| Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. | Свойство параллелограмма. |
| Центр окружности, описанной около треугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. | Так и находят центр описанной окружности. |
| Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. | Свойство средней линии трапеции. |
| Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. | Он равен половине дуги 180^{{^\circ}}. |
| Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником. | Признак прямоугольника. |
| Через точку вне прямой можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. | Аксиома параллельных прямых. |
| Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180^{{^\circ}}. | Свойство вписанного четырёхугольника. |
| В любой треугольник можно вписать окружность. | Центр — точка пересечения биссектрис. |
| Около любого треугольника можно описать окружность. | Центр — пересечение серединных перпендикуляров. |
| Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. | Признак параллелограмма. |
| Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны. | Первый признак равенства треугольников. |
| В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов. | Из теоремы Пифагора c^{2} = a^{2} + b^{2}. |
| Точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов отрезка. | Свойство серединного перпендикуляра. |
| Любой квадрат является прямоугольником. | Квадрат — прямоугольник с равными сторонами. |
| Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. | Признак подобия по двум углам. |
| Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. | Свойство медиан. |
| Всякий ромб является параллелограммом. | Ромб — параллелограмм с равными сторонами. |
Неверные утверждения
| Утверждение | Почему неверно / контрпример |
|---|---|
| Диагонали ромба равны. | Контрпример: ромб не квадрат, у него длинная и короткая диагонали. Равны диагонали у прямоугольника и квадрата. |
| Любой прямоугольник является ромбом. | У прямоугольника 3 \times 5 стороны не равны. |
| Если три угла одного треугольника равны трём углам другого, то такие треугольники равны. | Они подобны, но не обязательно равны (разный размер). |
| Тангенс любого острого угла меньше единицы. | tg60^{{^\circ}} = \sqrt{3} > 1. |
| Сумма смежных углов равна 90^{{^\circ}}. | Равна 180^{{^\circ}}. |
| Диагонали параллелограмма равны. | Контрпример: параллелограмм, не являющийся прямоугольником. |
| Около любого четырёхугольника можно описать окружность. | Контрпример: ромб, не являющийся квадратом. |
| В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | Контрпример: прямоугольник, не являющийся квадратом. |
| Площадь трапеции равна произведению её оснований на высоту. | Верно: полусумма оснований на высоту, S = \frac{a + b}{2}h. |
| Все высоты любого треугольника лежат внутри треугольника. | В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне него. |
| Все ромбы подобны. | Ромбы с разными углами не подобны (углы должны быть равны). |
| Все равнобедренные треугольники подобны. | Треугольники 30^{{^\circ}},30^{{^\circ}},120^{{^\circ}} и 80^{{^\circ}},80^{{^\circ}},20^{{^\circ}} не подобны. |
| Если диагонали четырёхугольника равны, то он — прямоугольник. | Контрпример: равнобедренная трапеция. |
| В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол. | Наоборот: против большей стороны лежит больший угол. |
| Через любые три точки проходит окружность. | Если точки лежат на одной прямой, окружности не существует. |
| Любой параллелограмм является прямоугольником. | Только если углы прямые. |
| Если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого, то такие треугольники равны. | Нужно, чтобы угол был между этими сторонами. Иначе возможны два разных треугольника. |
| Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. | Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис. |
| Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180^{{^\circ}}. | Равна 360^{{^\circ}} (по формуле 180^{{^\circ}}(n - 2)). |
| Если сумма двух углов треугольника больше 90^{{^\circ}}, то он остроугольный. | Углы 100^{{^\circ}}, 50^{{^\circ}}, 30^{{^\circ}}: сумма двух больше 90^{{^\circ}}, а треугольник тупоугольный. |
| Любая медиана треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена. | Это верно только для равнобедренного треугольника (к основанию). |
| Через любые две точки проходит единственная окружность. | Таких окружностей бесконечно много. |
| Диагонали любой трапеции равны. | Только в равнобедренной трапеции. |
| Если все стороны четырёхугольника равны, то он — квадрат. | Это ромб; квадрат — ромб с прямыми углами. |
| Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу. | Вписанный угол в два раза меньше центрального. |
| Любые две прямые на плоскости пересекаются. | Параллельные прямые не пересекаются. |
| Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон. | Верно только для прямоугольника; в общем случае S = ab\sin\alpha. |
| В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен сумме квадратов гипотенузы и другого катета. | Наоборот: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Как решать
1. Для каждого из трёх утверждений определи: верное или ложное. Начни с того, про которое уверен.
2. Если нашёл ложное — вычеркни. Если нашёл верное — проверь, что в условии не просят «ложное» (бывают формулировки «Какое из следующих утверждений неверно?»).
3. Если не уверен — нарисуй «острый случай» (тупоугольный, неравнобедренный, ромб без прямых углов).
4. Запиши номер (одну цифру) в бланк. Не пиши само утверждение!
Практика
Хочешь проверить себя?
Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.
Зарегистрироваться Войти