Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

В №9 после решения подставь корень в исходное уравнение — ФИПИ рекомендует это делать для всех типов. Если получилось неверное равенство, сами вычисления подскажут, где ошибка.

Если коэффициенты большие, а корни «целые» — пробуй Виету: подбери два числа с нужной суммой и произведением.

Для №13: сначала отбери по концам — какая точка закрашена, какая нет — это сразу отсеивает два варианта из четырёх.

Квадратное неравенство (x - a)(x - b) < 0 (a < b) — решение между корнями; > 0 — вне корней.

В №20 лучше расписать «лишнюю» строчку, чем потерять балл на арифметике: ФИПИ рекомендует подробно записывать все преобразования.

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (№9). Решите уравнение x^{2} + 6x - 16 = 0. Если корней несколько, запишите меньший.

D = 36 + 64 = 100, \sqrt{D} = 10. x_{1{,}2} = \frac{- 6 \pm 10}{2}: x_{1} = 2, x_{2} = - 8. Виета: 2 + ( - 8) = - 6 ✓, 2 \cdot ( - 8) = - 16 ✓. Меньший корень: - 8.

Пример

Пример 2 (№9). Решите уравнение \frac{3x + 1}{x - 1} = 2.

ОДЗ: x \neq 1. Умножаем на (x - 1): 3x + 1 = 2(x - 1), 3x + 1 = 2x - 2, x = - 3. Проверка: \frac{- 9 + 1}{- 3 - 1} = \frac{- 8}{- 4} = 2 ✓, x \neq 1 ✓. Ответ: - 3.

Пример 3 (№13). Укажите решение системы неравенств $\left{ \begin{array}{r} 2x - 3 < 7, \ x + 5 \geq 1. \end{array} \right.$

Пример

Первое: 2x < 10, x < 5 (точка 5 пустая). Второе: x \geq - 4 (точка - 4 закрашена). Общая часть: \lbrack - 4;5) — между - 4 (закрашена) и 5 (пустая). Это вариант 1. Ответ: 1.

Пример

Пример 4 (№20). Решите неравенство \frac{x + 3}{x - 2} \leq 2.

Решение. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: \frac{x + 3}{x - 2} - 2 \leq 0; \frac{x + 3 - 2(x - 2)}{x - 2} \leq 0; \frac{7 - x}{x - 2} \leq 0. Умножим обе части на - 1 (при этом знак неравенства меняется на противоположный): \frac{x - 7}{x - 2} \geq 0. Корни: x = 7 (числитель, закрашен) и x = 2 (знаменатель, пустой). Знаки: при x > 7 — «+»; на (2;7) — «−»; при x < 2 — «+». Нам нужен «+»: x < 2 или x \geq 7.

Проверка: x = 0: \frac{3}{- 2} = - 1{,}5 \leq 2 ✓; x = 3: \frac{6}{1} = 6 > 2 ✗; x = 7: \frac{10}{5} = 2 ✓.

Ответ: ( - \infty;2) \cup \lbrack 7; + \infty).

Пример

Пример 5 (№20). Решите уравнение x^{3} - 4x^{2} - 9x + 36 = 0.

Решение. Группируем: x^{2}(x - 4) - 9(x - 4) = (x - 4)(x^{2} - 9) = (x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 4, x = 3 или x = - 3.

Проверка: x = 3: 27 - 36 - 27 + 36 = 0 ✓. Ответ: - 3;\, 3;\, 4.

Пример

Пример 6 (№20). Решите систему уравнений $\left{ \begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 25, \ x - y = 1. \end{array} \right.$

Решение. Из второго: x = y + 1. Подставляем: (y + 1)^{2} + y^{2} = 25; 2y^{2} + 2y - 24 = 0; y^{2} + y - 12 = 0; D = 1 + 48 = 49, y = \frac{- 1 \pm 7}{2}: y = 3 или y = - 4. Тогда x = 4 или x = - 3.

Проверка: 4^{2} + 3^{2} = 25, 4 - 3 = 1 ✓; ( - 3)^{2} + ( - 4)^{2} = 25, - 3 - ( - 4) = 1 ✓. Ответ: (4;3), ( - 3; - 4).

Пример

Пример 7 (№20, замена переменной). Решите уравнение (x^{2} - 2x)^{2} - 3(x^{2} - 2x) - 4 = 0.

Решение. Пусть t = x^{2} - 2x. Тогда t^{2} - 3t - 4 = 0, t = 4 или t = - 1 (Виета: 4 + ( - 1) = 3, 4 \cdot ( - 1) = - 4). Возвращаемся: 1) x^{2} - 2x = 4, x^{2} - 2x - 4 = 0, D = 4 + 16 = 20, x = 1 \pm \sqrt{5}; 2) x^{2} - 2x = - 1, (x - 1)^{2} = 0, x = 1.

Проверка для x = 1: t = - 1, 1 + 3 - 4 = 0 ✓. Ответ: 1;\, 1 - \sqrt{5};\, 1 + \sqrt{5}.