Теория с примерами

№9 — линейное или квадратное уравнение (1 балл). №13 — решение неравенства или системы неравенств, выбор рисунка (1 балл, ответ — одна цифра). №20 (часть 2, 2 балла) — уравнение, неравенство или система с полным решением.

Теория с примерами

1. Линейные уравнения

Уравнение — это весы: что сделал с одной чашей, то сделай и с другой, и равновесие сохранится. План: раскрыть скобки → собрать слагаемые с x слева, числа справа (при переносе знак меняется) → поделить на коэффициент при x.

Пример

5(x - 2) = 3(x + 4). Раскрываем: 5x - 10 = 3x + 12. Переносим: 5x - 3x = 12 + 10, 2x = 22, x = 11. Проверка: 5 \cdot 9 = 45 и 3 \cdot 15 = 45 ✓.

2. Квадратные уравнения ax^{2} + bx + c = 0

D = b^{2} - 4ac,qquad\, x_{1{,}2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}

• D > 0 — два корня, D = 0 — один корень x = - \frac{b}{2a}, D < 0 — корней нет.
• Теорема Виета (для x^{2} + px + q = 0): x_{1} + x_{2} = - p, x_{1}x_{2} = q. Если корни целые, их часто подбирают устно.
• Неполные: ax^{2} + bx = 0 \Rightarrow \, x(ax + b) = 0; ax^{2} = c \Rightarrow \, x = \pm \sqrt{c/a}.
• Разложение: a(x - x_{1})(x - x_{2}). Пригодится в неравенствах и дробях.

Пример

x^{2} - 5x - 14 = 0: D = 25 + 56 = 81, x = \frac{5 \pm 9}{2}, x_{1} = 7, x_{2} = - 2. Проверка Виета: 7 + ( - 2) = 5, 7 \cdot ( - 2) = - 14 ✓.

(x - 3)^{2} = 16: сразу x - 3 = \pm 4, x = 7 или x = - 1. (Не раскрывать скобки — экономия времени.)

x^{2} = 3x: не сокращаем на x (потеряем корень 0). x^{2} - 3x = 0, x(x - 3) = 0, x = 0 или x = 3.

3. Дробно-рациональные уравнения

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если уравнение вида \frac{A}{B} = C, умножай на B только после записи ОДЗ: B \neq 0.

Пример

\frac{x^{2} - 2x - 8}{x - 4} = 0. Числитель: (x - 4)(x + 2) = 0, x = 4 или x = - 2. Знаменатель: x \neq 4. Остаётся x = - 2 (корень 4 — посторонний).

Из мира игр и аниме

Посторонний корень — это как «фальшивый» лут в играх: выглядит как настоящий, но при проверке рассыпается. Знаменатель — «таможня»: ОДЗ нужна, чтобы не пропустить контрабанду.

4. Системы уравнений

• Подстановка: из линейного уравнения выразить одну переменную и подставить во второе.
• Сложение: умножить уравнения на числа так, чтобы одна переменная сократилась при сложении.
• Ответ — пары чисел (x;y); проверь каждую пару в обоих уравнениях.

5. Неравенства

• Линейное: решаем как уравнение, но при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется: - 2x \leq 6 \Rightarrow \, x \geq - 3.
• Квадратное: найди корни, нарисуй параболу (ветви вверх при a > 0) и выбери части, где парабола выше нуля (> 0) или ниже нуля (< 0).
• Дробно-рациональное и высших степеней: метод интервалов — перенеси всё в одну часть, приведи к виду \frac{P(x)}{Q(x)} (\geq 0, > 0, \leq 0 или < 0), отметь корни числителя и знаменателя, расставь знаки на промежутках.
• Нельзя умножать неравенство на выражение с неизвестной: его знак неизвестен.
• Система неравенств: решения каждого неравенства пересекаем (общая часть).

Запомни

Строгое неравенство (<, >) — пустая точка и круглая скобка. Нестрогое (\leq, \geq) — закрашенная точка и квадратная скобка. Бесконечность \pm \infty всегда в круглой скобке. Точки знаменателя всегда выколоты (пустые), даже если неравенство нестрогое.

6. Метод интервалов шаг за шагом

1. Перенеси всё в левую часть, справа ноль.

2. Приведи к общему знаменателю и разложи числитель и знаменатель на множители вида (x - a).

3. Отметь на прямой все корни: корни числителя — закрашены (при нестрогом знаке), корни знаменателя — всегда пустые.

4. Определи знак выражения на самом правом промежутке (при положительных старших коэффициентах там «плюс») и чередуй знаки при переходе через корни нечётной кратности (чётной кратности — знак не меняется).

5. Выбери промежутки с нужным знаком, оформи ответ объединением.

Как решать

№9: определи тип → преобразуй к стандартному виду → реши → проверь подстановкой → прочитай вопрос («меньший корень», «сумма корней»). №13: реши каждое неравенство отдельно → отметь решения на одной прямой → найди пересечение → сверь тип точек (пустая/закрашенная) с картинкой. №20: решение записывается подробно: ОДЗ, преобразования, корни, знаки, ответ. Ответ — в виде промежутков/чисел.