Текстовые задачи — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Неизвестное лучше брать то, что в условии главное (скорость, время, масса) — меньше преобразований.

Дискриминант часто «красивый» (полный квадрат): если получилось что-то странное, проверь составление уравнения.

Если подозреваешь ошибку — сделай прикидку по смыслу: скорость велосипедиста 140 км/ч — нереалистично.

Если задача «на смеси» — составь равенство по массе вещества, а не по процентам.

Для дробей: умножай обе части на общий знаменатель после записи ограничений (x \neq 0).

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (движение). Два велосипедиста одновременно стартовали на дистанции 120 км. Первый ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибыл на финиш на 2 часа раньше. Найдите скорость второго велосипедиста.

Решение. Пусть скорость второго v км/ч, тогда первого v + 2 км/ч. Время второго \frac{120}{v}, первого \frac{120}{v + 2}, и \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 2} = 2. Умножим на v(v + 2) (v > 0): 120(v + 2) - 120v = 2v(v + 2); 240 = 2v^{2} + 4v; v^{2} + 2v - 120 = 0. D = 4 + 480 = 484 = 22^{2}, v = \frac{- 2 \pm 22}{2}: v = 10 или v = - 12. Скорость положительна, значит, v = 10 км/ч.

Проверка: второй: 120:10 = 12 ч; первый: 120:12 = 10 ч; разница 2 ч ✓.

Пример

Пример 2 (по течению и против). Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и 36 км против течения за 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение. Пусть v км/ч — собственная скорость (v > 3). Тогда \frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5. Умножаем на (v - 3)(v + 3): 36(v - 3) + 36(v + 3) = 5(v^{2} - 9); 72v = 5v^{2} - 45; 5v^{2} - 72v - 45 = 0. D = 5184 + 900 = 6084 = 78^{2}, v = \frac{72 \pm 78}{10}: v = 15 или v = - 0{,}6. Ответ: 15 км/ч.

Проверка: \frac{36}{18} + \frac{36}{12} = 2 + 3 = 5 ✓.

Пример

Пример 3 (работа). Первая труба наполняет бассейн на 6 часов быстрее, чем вторая, а вместе они наполняют его за 4 часа. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Решение. Пусть первая наполняет за x ч, вторая — за x + 6 ч. Производительности: \frac{1}{x} и \frac{1}{x + 6}. Вместе: \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}. Умножаем на 4x(x + 6): 4(x + 6) + 4x = x(x + 6); 8x + 24 = x^{2} + 6x; x^{2} - 2x - 24 = 0; D = 4 + 96 = 100, x = \frac{2 \pm 10}{2}: x = 6 (или - 4 — не подходит). Первая — за 6 ч, вторая — за 6 + 6 = 12 ч.

Проверка: \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} ✓.

Пример

Пример 4 (смесь). Смешали 10 кг 30-процентного раствора соли и некоторое количество 50-процентного раствора и получили 40-процентный раствор. Сколько килограммов 50-процентного раствора взяли?

Решение. Пусть взяли x кг. Масса соли: 0{,}3 \cdot 10 + 0{,}5x. Масса нового раствора 10 + x, соли в нём 0{,}4(10 + x). Равенство: 3 + 0{,}5x = 4 + 0{,}4x; 0{,}1x = 1; x = 10 кг.

Проверка: соли 3 + 5 = 8 кг в 20 кг раствора: \frac{8}{20} = 40\% ✓.

Пример

Пример 5 (поезд). Поезд проезжает мимо столба за 8 секунд, а мимо платформы длиной 200 м — за 28 секунд. Найдите длину поезда.

Решение. Пусть длина поезда L м, скорость v м/с. Мимо столба: L = 8v. Мимо платформы поезд проходит путь L + 200: L + 200 = 28v. Подставляем v = \frac{L}{8}: L + 200 = \frac{28L}{8} = 3{,}5L; 2{,}5L = 200; L = 80 м.

Проверка: скорость 10 м/с; 80:10 = 8 с ✓; (80 + 200):10 = 28 с ✓.

Пример

Пример 6 (числа). Сумма двух чисел равна 20, а их произведение равно 91. Найдите большее из чисел.

Решение. Пусть одно число x, другое 20 - x. x(20 - x) = 91; x^{2} - 20x + 91 = 0; D = 400 - 364 = 36; x = \frac{20 \pm 6}{2}: 13 или 7. Числа 7 и 13, большее — 13. По теореме Виета числа — корни уравнения t^{2} - 20t + 91 = 0; это решается устно: 7 + 13 = 20, 7 \cdot 13 = 91.

Ловушка

«На 2 часа раньше» означает, что время у более быстрого на 2 часа меньше. Если записать разность «наоборот», получится отрицательное число и ты потеряешь корень или получишь дикий ответ.