Последовательности и прогрессии — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Если шагов немного (до 6–7) — просто выпиши члены подряд: ФИПИ показывает этот способ как верный и безопасный.

Для суммы арифметической прогрессии смотри, что дано: если известны первый и последний — формула \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot \, n; если d — вторая форма.

Распад вдвое каждые T минут: за время t масса умножается на (\frac{1}{2})^{t/T}. За 4T — делится на 2^{4} = 16.

Проверка на здравый смысл: геометрическая прогрессия с q > 1 растёт быстро; арифметическая — «ровно».

Разобранные примеры

Пример

Пример 1. Арифметическая прогрессия задана: a_{1} = 7, d = 4. Найдите номер члена, равного 99.

a_{n} = 7 + 4(n - 1) = 99 \Rightarrow 4(n - 1) = 92 \Rightarrow \, n - 1 = 23 \Rightarrow \, n = 24. Проверка: 7 + 4 \cdot 23 = 99 ✓.

Пример

Пример 2. В арифметической прогрессии a_{3} = 7 и a_{8} = 22. Найдите a_{1}.

От a_{3} до a_{8} — 5 шагов, значит, 5d = 22 - 7 = 15, d = 3. a_{1} = a_{3} - 2d = 7 - 6 = 1. Проверка: 1 + 3 \cdot 2 = 7 ✓, 1 + 3 \cdot 7 = 22 ✓.

Пример

Пример 3 (бытовая). В первый день тренировки спортсмен пробежал 5 км, а каждый следующий день пробегал на 2 км больше, чем в предыдущий. Сколько километров он пробежал за 10 дней?

Арифметическая прогрессия: a_{1} = 5, d = 2, n = 10. a_{10} = 5 + 2 \cdot 9 = 23. S_{10} = \frac{5 + 23}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140 (км).

Пример

Пример 4 (геометрическая). В геометрической прогрессии b_{2} = 6 и b_{4} = 24, q > 0. Найдите b_{1}.

b_{4} = b_{2} \cdot \, q^{2} \Rightarrow \, q^{2} = \frac{24}{6} = 4, q = 2 (так как q > 0). b_{1} = \frac{b_{2}}{q} = \frac{6}{2} = 3. Проверка: 3,\, 6,\, 12,\, 24 ✓.

Пример

Пример 5 (распад). Масса вещества уменьшается вдвое каждые 5 минут. В начальный момент масса 320 мг. Найдите массу через 20 минут.

20 минут — это 4 «шага» по 5 минут, значит, масса в 2^{4} = 16 раз меньше: 320:16 = 20 мг. Через формулу: b_{5} = 320 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = 20 (пятый член).

Пример

Пример 6 (проценты). Вклад 10 000 руб. ежегодно увеличивается на 10%. Сколько рублей будет на вкладе через 2 года?

Каждый год умножаем на 1{,}1: 10000 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 10000 \cdot 1{,}21 = 12100 руб. (Это не 12 000: проценты считаются от новой суммы.)