Теория с примерами

№14 — задача на арифметическую или геометрическую прогрессию, часто в «бытовой» упаковке (охлаждение, рост, распад, ежедневные тренировки) (1 балл).

1. Арифметическая прогрессия (+ d)

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d (разность).

Что	Формула	Пример ( a_{1} = 5 , d = 3 )
n-й член	a_{n} = a_{1} + d(n - 1)	a_{10} = 5 + 3 \cdot 9 = 32
Сумма n членов	S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot \, n	S_{10} = \frac{5 + 32}{2} \cdot 10 = 185
Другая форма суммы	S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot \, n	S_{10} = \frac{10 + 27}{2} \cdot 10 = 185
Свойство	a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}	a_{4} = \frac{a_{3} + a_{5}}{2}

Из мира игр и аниме

Сюжет «Качаем персонажа»: на каждом уровне нужно набрать на 100 опыта больше, чем на предыдущем. Это арифметическая прогрессия: 100, 200, 300… А «опыт для 20 уровня» — это a_{20} = 100 + 100 \cdot 19 = 2000.

2. Геометрическая прогрессия (\cdot \, q)

Каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель).

Что	Формула	Пример ( b_{1} = 3 , q = 2 )
n-й член	b_{n} = b_{1} \cdot \, q^{n - 1}	b_{6} = 3 \cdot 2^{5} = 96
Сумма n членов	S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1}	S_{4} = \frac{3(16 - 1)}{1} = 45
Свойство	{b_{n}}^{2} = b_{n - 1} \cdot \, b_{n + 1}	{b_{3}}^{2} = b_{2}b_{4} (12^{2} = 6 \cdot 24)

Запомни

Какая это прогрессия? Прибавляется/убавляется на столько-то (на 9 °C каждую минуту; на 2 задачи больше) — арифметическая. Увеличивается/уменьшается в столько-то раз, на столько-то процентов (вдвое, на 10%) — геометрическая.

3. «Какой по счёту член?» — главная ловушка

Если известно значение в начальный момент (a_{1}), то через k шагов получаем член с номером k + 1: a_{k + 1} = a_{1} + k \cdot \, d. Рисунок полезен: «начало» — a_{1}, «после 1-го шага» — a_{2} и т. д. ФИПИ в рекомендациях именно так считает температуру через 6 минут: это седьмой член.

Как решать

1. Определи тип: прибавляем (арифм.) или умножаем (геометр.).

2. Выпиши a_{1} (или b_{1}) и d (или q). Для процентов: q = 1 \pm \frac{p}{100}.

3. Определи номер нужного члена (начало — первый; через k шагов — (k + 1)-й).

4. Подставь в формулу n-го члена или суммы. При небольшом числе шагов можно выписать все члены подряд — это хорошая проверка.

Теория с примерами