Вероятность — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Если сложно посчитать «хотя бы один» — считай «ни одного» и вычитай из единицы.

Дробь \frac{m}{n} сократи до вычисления: \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 0{,}4.

Для частых дробей помни десятичные записи: \frac{1}{8} = 0{,}125, \frac{3}{20} = 0{,}15, \frac{1}{25} = 0{,}04.

Задача «двое друзей попадут в одну группу»: зафиксируй одного, смотри, сколько мест для второго в той же группе из оставшихся мест.

Разобранные примеры

Пример

Пример 1. В коробке 48 карандашей: 12 красных, 9 синих, 15 зелёных, остальные жёлтые и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранный карандаш окажется красным или жёлтым.

Решение. Жёлтых и чёрных вместе 48 - 12 - 9 - 15 = 12, значит, жёлтых 12:2 = 6. Благоприятные: красные и жёлтые, 12 + 6 = 18 (события несовместны — сложение). P = \frac{18}{48} = \frac{3}{8} = 0{,}375.

Пример

Пример 2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 9 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Всего исходов 6 \cdot 6 = 36. Сумма 9: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) — четыре исхода. P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} = 0{,}111\ldots \approx 0{,}11.

Пример

Пример 3. На научной конференции 45 докладов: в первый день 9, остальные поровну между вторым и третьим днями. Порядок определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора окажется запланированным на последний (третий) день?

Решение. На второй и третий дни: 45 - 9 = 36 докладов, по 18 на день. P = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 0{,}4.

Пример

Пример 4. В классе 26 учеников, среди них Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение. Пусть Андрей уже попал в какую-то группу. В ней осталось 12 свободных мест, а всего мест, куда может попасть Сергей, — 25 (кроме места Андрея). Благоприятных — 12. P = \frac{12}{25} = 0{,}48.

Проверка: вероятность оказаться в разных группах \frac{13}{25} = 0{,}52; 0{,}48 + 0{,}52 = 1 ✓.

Пример

Пример 5. Из чисел от 1 до 20 случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что в записи числа есть цифра 1.

Решение. Числа с цифрой 1: 1;\, 10;\, 11;\, 12;\, 13;\, 14;\, 15;\, 16;\, 17;\, 18;\, 19 — всего 11 (число 20 цифры 1 не содержит). P = \frac{11}{20} = 0{,}55.