Теория с примерами

№10 — найти вероятность события в опыте с равновозможными исходами (1 балл). Ответ — десятичная дробь (иногда с округлением).

Теория с примерами

1. Классическая формула

Если все исходы опыта равновозможны, то вероятность события A равна

P(A) = \frac{m}{n},

где n — число всех возможных исходов, m — число исходов, при которых событие A наступает (благоприятных). Всегда 0 \leq \, P \leq 1. Невозможное событие имеет P = 0, достоверное — P = 1.

Пример

В коробке 15 шаров, из них 6 красных. Вероятность вынуть красный: \frac{6}{15} = 0{,}4. (Сократили дробь на 3 и перевели в десятичную: \frac{2}{5} = 0{,}4.)

Ловушка

Вероятность — доля, а не число штук. Ответ вида «6» или «1,5» — точно ошибка: вероятность не больше 1.

Из мира игр и аниме

В гача-играх шанс получить редкого персонажа за одну попытку — это маленькая вероятность. Но «не выпало за 10 попыток» не значит, что «в 11-й обязательно выпадет»: попытки независимы, у монеты и у кубика нет памяти. Именно эта ошибка (мыслить «долгом») стоит игрокам огромных ресурсов, а на ОГЭ — балла.

2. Противоположное событие и «или»

• «Не A »: P(не\, A) = 1 - P(A). Удобно, когда считать «хотя бы один» напрямую долго.
• « A или B » для несовместных (не могут случиться одновременно): P(A\, или\, B) = P(A) + P(B). Так считают, когда «красная или чёрная ручка».
• « A и B » для независимых событий (бросок монеты и бросок кубика): P = P(A) \cdot \, P(B).

Пример

Монету бросают 4 раза. Вероятность «хотя бы один орёл» проще найти от противного: «ни одного орла» = «4 решки подряд» = (\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}. Тогда P = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0{,}9375.

3. Считаем исходы: монеты и кубики

• Монета, 2 броска: ОО, ОР, РО, РР — 4 исхода. «Ровно один орёл» — это ОР и РО: два исхода, P = \frac{2}{4} = 0{,}5 (а не \frac{1}{3}!).
• Монета, 3 броска: 2^{3} = 8 исходов. «Ровно две решки» — РРО, РОР, ОРР: \frac{3}{8} = 0{,}375.
• Один кубик: 6 исходов. «Больше 4» — 5 и 6: \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33.
• Два кубика (или два броска): 6 \cdot 6 = 36 пар. Сумму лучше смотреть по таблице.

Число способов получить сумму s при броске двух кубиков:

Из мира игр и аниме

В настольных играх с двумя кубиками (например, «Монополия») сумма 7 выпадает чаще всего — 6 способов из 36. А в «Катане» жетоны «6» и «8» нарисованы красным: они выпадают чаще других после «7» (по 5 способов из 36), поэтому такие поля самые «богатые».

4. «Поровну» и «остальные»

Часто в условии есть слова «остальные поровну». Тогда сначала находим, сколько осталось, потом делим на нужное число частей.

Как решать

1. Определи, что случайно выбирают и что значит «благоприятный исход».

2. Найди n — число всех исходов (иногда его надо вычислить: сумма всех групп, 6 \cdot 6 и т. п.).

3. Найди m — число благоприятных. Если в условии «остальные поровну», вычисли недостающее число объектов.

4. Раздели m на n и переведи в десятичную дробь (если надо — округли).

5. Проверь: 0 \leq \, P \leq 1.