Практико-ориентированные задания — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Квест на соответствие (ответ — 3–4 цифры): найди самую «яркую» пару (самое большое/самое малое число) — остальное решается исключением. Порядок цифр в ответе — по порядку строк таблицы, не по возрастанию!

Тарифы: сначала проверь, не «безлимитный» ли тариф уже дешевле остальных. Считай по формуле, а не «в уме».

Не округляй рано. Результат 596,1 мм хранится как 596,1 до конца задачи; округляй только ответ.

Проценты «на сколько»: если ответ вышел больше 100% при вопросе «на сколько меньше» — ты разделил не на то число.

Из мира игр и аниме

В Minecraft стак — 64 блока. Если нужно 150 блоков, ты возьмёшь 3 стака, а не 2,34. Так же и в задачах про упаковки и секции забора: ответ округляется вверх до целого.

Разобранные сюжеты

Каждый сюжет — полный набор №1–5. Сюжеты придуманы автором по мотивам типовых тем ФИПИ.

Сюжет A. Шины (по мотивам демоверсии 2027)

Маркировка шины, например, 185/65 R14: первое число — ширина шины B в мм, второе — высота боковины H в процентах от ширины, число после R — диаметр диска d в дюймах (1 дюйм = 25,4 мм). Диаметр колеса: D = d \cdot \, 25{,}4 + 2H. Завод ставит на автомобиль колёса 185/65 R14. Разрешённые размеры шин:

Решение сюжета A

№1. Шины какой наименьшей ширины можно ставить, если диаметр диска 15 дюймов? Смотрим столбец «15″»: 185/60, 195/55, 205/55 — ширины 185, 195, 205. Наименьшая — 185.

№2. Высота боковины шины 205/50 R16. Это 50% от 205: 205·0,5 = 102,5 мм.

№3. Диаметр заводского колеса (185/65 R14). Диск: 14·25,4 = 355,6 мм. Боковина: 185·0,65 = 120,25 мм (с каждой стороны, поэтому в формуле её двойка). Диаметр колеса: 355,6 + 2·120,25 = 355,6 + 240,5 = 596,1 мм.

№4. На сколько мм радиус колеса 195/55 R15 меньше заводского? Радиус = половина диска + боковина. Для 195/55 R15: 15·25,4/2 = 190,5 мм; боковина 195·0,55 = 107,25 мм; радиус 190,5 + 107,25 = 297,75 мм. Заводской радиус 596,1/2 = 298,05 мм. Разность: 298,05 − 297,75 = 0,3 мм.

№5. На сколько процентов уменьшится пробег за один оборот колеса, если поставить 195/60 R14? Путь за оборот равен длине окружности \pi\, D, значит, он пропорционален диаметру (число π сокращается). Новый диаметр: 355,6 + 2·(195·0,6) = 355,6 + 234 = 589,6 мм. Уменьшение: (596,1 − 589,6)/596,1·100% = 6,5/596,1·100% ≈ 1,09% ≈ 1,1.

Ловушка

В №4 легко спутать радиус с диаметром: в формуле радиуса диск делится пополам, а боковина не делится (она одна на радиус). Следи, какая величина спрашивается.

Сюжет B. Листы бумаги формата A

Лист формата A0 имеет площадь 1 м². Разрезав лист A0 пополам (поперёк длинной стороны), получаем два листа A1; так же из листа A1 получают два листа A2 и т. д. Размеры листов (мм): A3 — 297×420, A4 — 210×297, A5 — 148×210.

Школа закупает бумагу: пачка из 500 листов A4 стоит 360 руб.; при покупке двух и более пачек действует скидка 15%. Плотность бумаги — 80 г/м².

Решение сюжета B

№1. Соответствие форматов и размеров. A3 — самый большой лист (297×420) → 3; A4 — 210×297 → 2; A5 — самый маленький (148×210) → 1. Ответ 321 (по порядку A3, A4, A5).

№2. Площадь листа A4 в см². 210 мм = 21 см, 297 мм = 29,7 см: 21·29,7 = 623,7 см².

№3. Сколько листов A5 получится из 6 листов A3? Каждое разрезание пополам удваивает число листов: A3 → 2·A4 → 4·A5. Значит, из одного A3 получается 4 листа A5, из шести: 6·4 = 24.

№4. Масса 100 листов A4 (округлить до целых, г). 623,7 см² = 0,06237 м². Масса одного листа: 0,06237·80 = 4,9896 г. Сто листов: 498,96 ≈ 499 г.

№5. Стоимость трёх пачек со скидкой: 3·360 = 1080 руб.; скидка 15% — это 85% цены: 1080·0,85 = 918 руб.

Лайфхак

Любой формат A(n) в 2 раза больше формата A(n+1) по площади. Поэтому из A0 получается 2 листа A1, 4 листа A2, 8 листов A3, 16 листов A4: степени двойки.

Сюжет C. Тарифы на мобильный интернет

Оператор предлагает три тарифа. Месячный трафик Ивана — 26 Гб.

Решение сюжета C

№1. Сколько Гб включено в самый дешёвый по абонплате тариф? Самый дешёвый — «Старт» (350 руб.), включено 8 Гб.

№2. Сколько заплатит Иван на «Старте» при 12 Гб? Включено 8 Гб, сверх: 12 − 8 = 4 Гб, плата 4·40 = 160 руб. Итого 350 + 160 = 510 руб.

№3. Сколько заплатит на «Оптимуме» при 26 Гб? Сверх: 26 − 20 = 6 Гб, 6·30 = 180 руб. Итого 520 + 180 = 700 руб.

№4. Какой тариф выгоднее всего при 26 Гб и сколько он стоит? «Старт»: 350 + 18·40 = 1070; «Оптимум»: 700; «Безлимит»: 800. Наименьшее — 700 руб.

№5. При каком наименьшем целом числе Гб «Безлимит» дешевле «Оптимума»? Для n > 20 «Оптимум» стоит 520 + 30(n - 20). Решаем 520 + 30(n - 20) > 800: 30(n - 20) > 280, n - 20 > 9\frac{1}{3}, n > 29\frac{1}{3}. Проверка: при 29 Гб — 520 + 270 = 790 < 800; при 30 Гб — 520 + 300 = 820 > 800. Наименьшее целое — 30.