Планиметрия: треугольники, окружность, четырёхугольники — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Пифагоровы тройки экономят время: 5;12;13 — не считаем корень из 169, а сразу берём 13.

Если в условии «окружность описана около прямоугольного треугольника» — центр на середине гипотенузы, R = \frac{c}{2}. Если «вписана» — используй r = \frac{a + b - c}{2}.

Если угол 30^{{^\circ}}, 45^{{^\circ}} или 60^{{^\circ}} — вспомни прямоугольный треугольник со сторонами 1;\sqrt{3};2 или 1;1;\sqrt{2}.

Для площади параллелограмма с острым углом \alpha часто удобнее S = ab\sin\alpha: \sin 30^{{^\circ}} = \frac{1}{2}, \sin 45^{{^\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 60^{{^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

В равнобедренной трапеции опусти две высоты: получится прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с катетом \frac{b - a}{2}.

Из мира игр и аниме

Хорда и расстояние до центра — это как «радиус обзора» в играх: чем дальше от центра, тем «короче» отрезок внутри круга. Зная расстояние d и радиус R, всегда можно найти половину хорды по теореме Пифагора: \sqrt{R^{2} - d^{2}}.

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (№15). В треугольнике ABC угол A равен 40^{{^\circ}}, угол B равен 60^{{^\circ}}, CD — биссектриса. Найдите угол ACD.

\angle\, C = 180^{{^\circ}} - 40^{{^\circ}} - 60^{{^\circ}} = 80^{{^\circ}}. Биссектриса делит угол пополам: \angle\, ACD = 80^{{^\circ}}:2 = \mathbf{40\hat{}\backslash circ}.

Пример

Пример 2 (№15). В прямоугольном треугольнике ABC (\angle\, C = 90^{{^\circ}}) AC = 8, AB = 10. Найдите \sin\, A и tgA.

BC = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{36} = 6 (тройка 6;8;10). \sin\, A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6; tgA = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = 0{,}75.

Пример

Пример 3 (№16). Хорда AB = 24 окружности находится на расстоянии 5 от центра. Найдите радиус.

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: половина хорды 12. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5, гипотенуза — радиус: R = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13.

Пример

Пример 4 (№16). Около окружности описан четырёхугольник ABCD, AB = 7, BC = 8, CD = 10. Найдите AD.

В описанном четырёхугольнике AB + CD = BC + AD. Тогда 7 + 10 = 8 + AD, AD = 9.

Пример

Пример 5 (№17). Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите его сторону, площадь и высоту.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: получаем прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, гипотенуза 13 — это сторона. S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120. Высота h = \frac{S}{a} = \frac{120}{13}. Ответ: сторона 13, площадь 120.

Пример

Пример 6 (№17). Основания трапеции 8 и 20. Найдите меньший из отрезков, на которые одна из диагоналей делит среднюю линию.

Отрезки равны половинам оснований: 8:2 = 4 и 20:2 = 10. Меньший — 4. (Вся средняя линия 14 = 4 + 10 ✓.)

Пример

Пример 7 (№17, равнобедренная трапеция). Основания равнобедренной трапеции 6 и 14, боковая сторона 5. Найдите площадь.

Опустим высоты из вершин меньшего основания: на большем основании получаем отрезки по \frac{14 - 6}{2} = 4. Высота: h = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3. S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 30.

Пример

Пример 8 (№15, площадь по трём сторонам). Стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к стороне 14.

Формула Герона: p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21; S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 (84^{2} = 7056). Высота: h = \frac{2S}{14} = \frac{168}{14} = 12.