Планиметрия: треугольники, окружность, четырёхугольники — Теория с примерами

№15 — треугольник (углы, стороны), №16 — окружность (углы, хорды, вписанные и описанные фигуры), №17 — четырёхугольники (параллелограмм, ромб, трапеция, площади, средняя линия). По 1 баллу, ответ — число. Это геометрические задания части 1: они входят в «геометрическое» условие (минимум 2 балла по геометрии для «тройки»).

Теория с примерами

1. Треугольник

• Сумма углов треугольника равна 180^{{^\circ}}. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• Равнобедренный (AB = BC): углы при основании равны (\angle\, A = \angle\, C); биссектриса, медиана и высота к основанию совпадают.
• Равносторонний: все углы по 60^{{^\circ}}; высота h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
• Прямоугольный: c^{2} = a^{2} + b^{2}; \sin\, A = \frac{противолежащий}{гипотенуза}, \cos\, A = \frac{прилежащий}{гипотенуза}, tgA = \frac{противолежащий}{прилежащий}; медиана к гипотенузе равна её половине; катет против угла 30^{{^\circ}} равен половине гипотенузы.
• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Три средние линии образуют треугольник с периметром вдвое меньшим.
• Подобие: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны; отношения сходных сторон равны.
• Площадь: S = \frac{1}{2}ah, S = \frac{1}{2}ab\sin\, C, формула Герона S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, S = pr.

Пифагоровы тройки (стоит помнить): 3;4;5, 5;12;13, 8;15;17, 7;24;25 и все пропорциональные им, например 6;8;10 или 9;12;15.

Пример

Катеты 9 и 12: это «3-4-5», умноженная на 3, значит, гипотенуза 5 \cdot 3 = 15 — без вычисления корня. Медиана к гипотенузе: 15:2 = 7{,}5.

Внешний угол при вершине B равнобедренного треугольника (AB = BC) равен 130^{{^\circ}}. Тогда \angle\, B = 180^{{^\circ}} - 130^{{^\circ}} = 50^{{^\circ}}, а \angle\, A = \frac{180^{{^\circ}} - 50^{{^\circ}}}{2} = 65^{{^\circ}}.

2. Окружность

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, и половине центрального угла на ту же дугу. Вписанные углы на одну дугу равны. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных из одной точки равны (PA = PB).
• Хорда: радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам; R^{2} = (\frac{AB}{2})^{2} + d^{2}, где d — расстояние от центра до хорды.
• Вписанный четырёхугольник (его вершины на окружности): сумма противоположных углов 180^{{^\circ}}.
• Описанный четырёхугольник (окружность вписана в него): суммы противоположных сторон равны, AB + CD = BC + AD.
• Прямоугольный треугольник: R = \frac{c}{2} (центр описанной окружности — середина гипотенузы), r = \frac{a + b - c}{2}.
• Правильный треугольник: R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, r = \frac{a\sqrt{3}}{6} (в справочнике).
• Длина окружности C = 2\pi\, r, площадь круга S = \pi\, r^{2}.

Пример

Касательные PA и PB образуют угол \angle\, APB = 72^{{^\circ}}. Найти \angle\, ABO. В четырёхугольнике OAPB углы A и B прямые, \angle\, P = 72^{{^\circ}}, значит, \angle\, AOB = 360^{{^\circ}} - 90^{{^\circ}} - 90^{{^\circ}} - 72^{{^\circ}} = 108^{{^\circ}}. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB — радиусы): \angle\, ABO = \frac{180^{{^\circ}} - 108^{{^\circ}}}{2} = \mathbf{36\hat{}\backslash circ}. (Это задача из рекомендаций ФИПИ-2026, и там показано три способа решения.)

3. Четырёхугольники и площади

Запомни

Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка: \frac{a}{2} и \frac{b}{2} (полуоснования). Если основания 2 и 9, то отрезки 1 и 4{,}5, а вся средняя линия 5{,}5.

Как решать

1. Нарисуй крупный аккуратный чертёж. Отметь известные значения и искомое.

2. Определи тип фигуры и запиши, что про неё известно (углы, равенство сторон, подобие, прямые углы).

3. Найди нужную формулу или факт (справочник на экзамене содержит многие из них, но не всё!).

4. Составь цепочку: что можно найти из данного, затем из найденного — следующее. Не пытайся «догадаться» с одного взгляда.

5. Проверь: ответ реалистичен (длина — положительна, угол — между 0^{{^\circ}} и 180^{{^\circ}}), единицы верны, вопрос дочитан.