Теория с примерами

№6 — вычисление значения выражения с обыкновенными и десятичными дробями (1 балл). №7 — число на координатной прямой: корни, сравнение, оценка (1 балл, ответ — одна цифра: номер варианта).

1. Десятичные дроби: считай как целые

Умножение: перемножь числа, как будто запятых нет, и поставь запятую так, чтобы после неё оказалось столько знаков, сколько их было всего у обоих множителей.
Деление на десятичную дробь: сдвинь запятую в делителе до конца и во столько же знаков в делимом. 4{,}8:0{,}6 = 48:6 = 8.
Сложение и вычитание: запятая под запятой; недостающие знаки — нулями.

Пример

5{,}2 \cdot 3{,}1: считаем 52 \cdot 31 = 1612. Знаков после запятой: 1+1 = 2, значит, 16{,}12. Проверка прикидкой: 5 \cdot 3 = 15 — рядом.

0{,}04 \cdot 0{,}5: 4 \cdot 5 = 20, знаков 2+1 = 3, значит, 0{,}020 = 0{,}02.

2. Обыкновенные дроби и их десятичные друзья

Эти дроби стоит узнавать «в лицо»: тогда смешанные выражения решаются почти устно.

Дробь	\frac{1}{2}	\frac{1}{4}	\frac{3}{4}	\frac{1}{5}	\frac{2}{5}	\frac{1}{8}	\frac{3}{8}	\frac{5}{8}	\frac{1}{20}	\frac{1}{25}	\frac{1}{16}
Десятичная	0,5	0,25	0,75	0,2	0,4	0,125	0,375	0,625	0,05	0,04	0,0625

Сложение: общий знаменатель. \frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}.
Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, сокращай до умножения: \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5.
Деление: умножаем на перевёрнутую: \frac{3}{5}:\frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{2}{3}.
Смешанное число переводим в неправильную дробь: 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25.

Лайфхак

В одном выражении лучше выбрать один «язык»: если сильно «десятичные» числа — всё переводим в десятичные; если мелькают трети и шестые — в обыкновенные. Смешивать — значит плодить ошибки.

Из мира игр и аниме

Сайтама из аниме «Ванпанчмен» делает каждый день 100 приседаний, 100 отжиманий, 100 подъёмов корпуса и бежит 10 км. А ты за неделю решаешь по 10 примеров на дроби. Даже у тебя «режим» скромнее, но результат тот же: через месяц дроби сдаются одним ударом.

3. Порядок действий

Скобки → степени и корни → умножение и деление (слева направо) → сложение и вычитание (слева направо). Деление и умножение — «на одном этаже»: 12:3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8, а не 12:6.

4. Корни и сравнение чисел (№7)

Арифметический квадратный корень \sqrt{a} — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Чтобы поместить \sqrt{a} на числовую прямую, зажми подкоренное между двумя полными квадратами.

Число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Квадрат	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Пример

\sqrt{77}: 64 < 77 < 81, значит, 8 < \sqrt{77} < 9. А ближе к какому? 77 ближе к 81 (разница 4), чем к 64 (разница 13), поэтому \sqrt{77} \approx 8{,}8 (на самом деле 8{,}77\ldots).

Что больше: \sqrt{19} или 4{,}3? Сравниваем квадраты неотрицательных чисел: 19 и 4{,}3^{2} = 18{,}49. Так как 19 > 18{,}49, то \sqrt{19} > 4{,}3.

Запомни

Для неотрицательных a и b: a < b \Leftrightarrow \, a^{2} < b^{2} (можно возводить в квадрат оба положительных числа). Для отрицательных чисел — наоборот: - \sqrt{5} < - 2, потому что \sqrt{5} > 2.

Как решать

№6 (значение выражения):

1. Определи, что в выражении: десятичные, обыкновенные, смешанные числа.

2. Выбери общий «язык» (десятичные или обыкновенные) и переведи.

3. Считай в порядке действий; промежуточные результаты записывай столбиком на черновике.

4. Проверь прикидкой: ответ должен быть примерно того порядка, что и «округлённое» выражение.

№7 (число на прямой):

1. Определи, между какими целыми числами лежит искомое число (сравни с квадратами).

2. Если после этого остаётся несколько точек — прикинь десятичное приближение: \sqrt{a} \approx ближайший целый \pm поправка.

3. Вместо цифры точки запиши номер варианта ответа (1–4). Это ловушка: ответ — не координата, а номер.

Теория с примерами