Теория с примерами

№18 — на клетчатой бумаге с клеткой 1 \times 1 изображена фигура: нужно найти длину отрезка, площадь, среднюю линию, тангенс угла (1 балл, ответ — число).

Теория с примерами

1. Координаты и расстояние

Если вершины лежат в узлах сетки, присвоим им координаты (x;y) — сколько клеток вправо и вверх от выбранного начала. Расстояние между точками A(x_{1};y_{1}) и B(x_{2};y_{2}) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами |x_{2} - x_{1}| и |y_{2} - y_{1}|:

AB = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

Пример

A(1;1) и B(5;4). Катеты: 5 - 1 = 4 и 4 - 1 = 3. AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 — снова «египетский» треугольник 3;4;5.

2. Тангенс угла на клетках

Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. На клетках: сколько клеток вверх, делённое на сколько вправо (если одна сторона угла идёт по горизонтали).

3. Площади

• Разбить фигуру на прямоугольники, прямоугольные треугольники и т. п. и сложить.
• «Рамка минус лишнее»: описать вокруг фигуры прямоугольник со сторонами по линиям сетки и вычесть площади лишних прямоугольных треугольников.
• Формулы треугольника \frac{1}{2}ah, параллелограмма ah, трапеции \frac{a + b}{2}h — с основаниями и высотой по линиям сетки.
• Контроль: формула Пика S = I + \frac{B}{2} - 1 (I — узлы внутри, B — узлы на границе). Это не школьная формула, но как проверка полезна; в решении используйте разбиение.

Пример (рамка минус лишнее)

Треугольник A(1;1), B(7;2), C(3;5). Рамка: x \in \lbrack 1;7\rbrack, y \in \lbrack 1;5\rbrack, площадь 6 \cdot 4 = 24. Лишние треугольники: A,B,(7;1) — катеты 6 и 1, площадь 3; B,C,(7;5) — катеты 3 и 4, площадь 6; A,C,(1;5) — катеты 4 и 2, площадь 4. Итого 24 - (3 + 6 + 4) = 11.

Из мира игр и аниме

Клетчатая бумага — это почти Minecraft: узел сетки — блок, расстояние между двумя блоками по диагонали — это теорема Пифагора. Ты строишь «лестницу» из клеток, а потом считаешь гипотенузу.

Как решать

1. Присвой вершинам координаты (за начало возьми левый нижний узел).

2. Определи, что нужно: длина (Пифагор), тангенс (катет/катет), площадь (разбиение, формула), средняя линия (полусумма оснований).

3. Выпиши нужные величины из клеток (катеты, основания, высоты) — считай узлы, а не линии (разность координат).

4. Вычисли, проверь здравым смыслом (площадь внутри рамки, длина больше катета).