Геометрическое доказательство — Лайфхаки и разобранные примеры

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (параллелограмм). В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и AD. Докажите, что AM = CN.

Доказательство. AD = BC и AD \parallel \, BC (противоположные стороны параллелограмма). Так как N и M — середины, то AN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = MC. Отрезки AN и MC равны и параллельны (ANsubset\, AD, MCsubset\, BC), поэтому четырёхугольник AMCN — параллелограмм (признак). Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, AM = CN. blacksquare

Пример

Пример 2 (подобие). Высоты AA_{1} и BB_{1} остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что треугольники AHB_{1} и BHA_{1} подобны.

Доказательство. Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому \angle\, AB_{1}H = 90^{{^\circ}} и \angle\, BA_{1}H = 90^{{^\circ}}. Углы AHB_{1} и BHA_{1} — вертикальные (образованы пересекающимися прямыми AA_{1} и BB_{1}), значит, они равны. Следовательно, треугольники AHB_{1} и BHA_{1} подобны по двум углам. blacksquare

Пример

Пример 3 (вписанный четырёхугольник и подобие). Точки K и L лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC, четырёхугольник BKLC вписан в окружность. Докажите, что треугольники AKL и ACB подобны.

Доказательство. Углы AKL и BKL смежные: \angle\, AKL = 180^{{^\circ}} - \angle\, BKL. В вписанном четырёхугольнике BKLC вершины K и C противоположны, поэтому \angle\, BKL + \angle\, BCL = 180^{{^\circ}}. Так как L лежит на AC, угол BCL — это угол ACB. Значит, \angle\, AKL = 180^{{^\circ}} - \angle\, BKL = \angle\, ACB. Угол A у треугольников AKL и ACB общий. По двум углам \bigtriangleup \, AKL \sim \bigtriangleup \, ACB (вершине K соответствует C, а L — B). blacksquare

Пример

Пример 4 (касательные). Из точки P к окружности с центром O проведены касательные PA и PB (A, B — точки касания). Докажите, что OP\bot\, AB.

Доказательство. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: PA = PB. Радиусы равны: OA = OB. Значит, точки P и O равноудалены от концов отрезка AB и лежат на его серединном перпендикуляре. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая OP — серединный перпендикуляр к AB, т. е. OP\bot\, AB. blacksquare

Пример

Пример 5 (трапеция, площади). Диагонали AC и BD трапеции ABCD (BC \parallel \, AD) пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников ABO и CDO равны.

Доказательство. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми BC и AD). Значит, S_{ABD} = S_{ACD}. Но S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}, а S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}. Вычитая общую часть S_{AOD}, получаем S_{ABO} = S_{CDO}. blacksquare

Пример

Пример 6 (медианы, повышенный). Медианы AM и BN треугольника ABC равны. Докажите, что AC = BC.

Доказательство. Пусть G — точка пересечения медиан. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины: AG = \frac{2}{3}AM, BG = \frac{2}{3}BN, GM = \frac{1}{3}AM, GN = \frac{1}{3}BN. Так как AM = BN, то AG = BG и GM = GN. Рассмотрим треугольники AGN и BGM: AG = BG, GN = GM, углы AGN и BGM равны как вертикальные. Значит, они равны по первому признаку, и AN = BM. Но AN = \frac{1}{2}AC и BM = \frac{1}{2}BC (медианы делят стороны пополам), поэтому AC = BC. blacksquare