Блок 1 из 7 Бесплатно
Геометрическое доказательство — Теория с примерами
№24 (часть 2, 2 балла) — доказать утверждение из планиметрии: чаще всего равенство или подобие треугольников, свойство четырёхугольника или окружности. Ответ — не число, а связный текст: «Дано — Доказать — Доказательство».
Теория: как писать доказательство
1. Шаблон
1.Нарисуй чертёж по условию. Подпиши, что дано (равенство отрезков/углов, параллельность, перпендикулярность).
2.Запиши, что нужно доказать, в виде равенства/подобия/параллельности и т. п.
3.Найди «цепочку»: от данного к цели, шаг за шагом. Ищи подходящий признак (равенства, подобия, параллелограмма) или свойство (вписанного угла, биссектрисы, касательной).
4.Запиши доказательство: каждое утверждение — с причиной в скобках («как накрест лежащие», «по первому признаку равенства»).
5.Закончи выводом, совпадающим с тем, что требовалось доказать.
2. Что можно и нельзя использовать
- Можно без доказательства: определения, аксиомы, теоремы и признаки из школьного учебника (равенство и подобие треугольников, свойства и признаки параллелограмма, ромба, трапеции, вписанные и центральные углы, касательные и т. п.).
- Нельзя: «видно из рисунка», «очевидно» (если это не дано), свойства, которые следуют из того, что надо доказать, формулы из «олимпиадных» источников, которых нет в учебнике.
- Если утверждение «известно», но не из учебника, надо вывести его в две-три строки.
3. Шпаргалка по признакам
| Цель | Признак / приём |
|---|---|
| Треугольники равны | I: две стороны и угол между ними; II: сторона и два прилежащих угла; III: три стороны. Для прямоугольных — по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету |
| Треугольники подобны | по двум углам; по двум сторонам и углу между ними (пропорционально); по трём сторонам (пропорционально) |
| Четырёхугольник — параллелограмм | две стороны равны и параллельны; противолежащие стороны попарно равны; диагонали делятся пополам |
| Прямые параллельны | равны накрест лежащие или соответственные углы; сумма односторонних 180^{{^\circ}}; обе перпендикулярны третьей прямой |
| Точки лежат на окружности / четырёхугольник вписан | сумма противоположных углов 180^{{^\circ}}; один отрезок виден под равными углами из двух точек по одну сторону |
| Отрезки равны | в равных треугольниках; в равнобедренном треугольнике; как отрезки касательных; как радиусы; как противоположные стороны параллелограмма |
| Углы равны | вертикальные; накрест лежащие при параллельных; вписанные на одну дугу; углы при основании равнобедренного треугольника; в равных/подобных треугольниках |
Из мира игр и аниме
Доказательство — это «прохождение игры по гайду»: у тебя есть старт (дано) и финиш (доказать), а между ними — цепочка «чекпоинтов». Каждый чекпоинт — один признак или одно свойство. Пропустил чекпоинт — не прошёл уровень.
Лайфхаки
Метод «от конца»: спроси себя: «Чтобы доказать подобие, что мне нужно?» (два угла) → «Откуда взять два равных угла?» (вертикальные, накрест лежащие, вписанные). Так цепочка складывается сама.
Если в условии есть середина отрезка — подумай про средние линии, параллелограмм, равные отрезки. Биссектриса — равнобедренный треугольник. Окружность — равные радиусы, вписанные углы, касательная ⊥ радиусу.
Как решать
1. Чертёж + обозначения. Лучше сделать два чертежа, если нужная часть мелкая (по рекомендации ФИПИ).
2. Выписать, что известно, и что следует из этого сразу (равные углы, равные отрезки, подобие).
3. Определить тип доказательства: равенство, подобие, параллелограмм, вписанный четырёхугольник, равнобедренный.
4. Записать цепочку «шаг — причина».
5. Перечитать: нет ли шага, который «берётся из рисунка»? Нет ли ссылки на то, что доказываем?