Геометрические задачи части 2 — Лайфхаки и разобранные примеры

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (№23). В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K, BK = 7, KC = 5. Найдите периметр параллелограмма.

Решение. BC \parallel \, AD, поэтому \angle\, AKB = \angle\, KAD (накрест лежащие при секущей AK). По условию AK — биссектриса, значит, \angle\, BAK = \angle\, KAD. Тогда \angle\, BAK = \angle\, AKB, и треугольник ABK равнобедренный: AB = BK = 7. BC = BK + KC = 7 + 5 = 12. Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(7 + 12) = 38.

Пример

Пример 2 (№23). В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 9 и 16. Найдите катеты.

Решение. Гипотенуза c = 9 + 16 = 25. Катет, прилежащий к отрезку 9: a^{2} = c \cdot 9 = 25 \cdot 9 = 225, a = 15. Другой катет: b^{2} = 25 \cdot 16 = 400, b = 20. Проверка: 15^{2} + 20^{2} = 225 + 400 = 625 = 25^{2} ✓. Ответ: 15 и 20.

Пример

Пример 3 (№23). Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Основания AD = 12, BC = 8, площадь треугольника BOC равна 16. Найдите площадь треугольника AOD.

Решение. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (\angle\, OBC = \angle\, ODA и \angle\, OCB = \angle\, OAD — накрест лежащие при BC \parallel \, AD). Коэффициент подобия k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. Площади относятся как k^{2} = \frac{9}{4}: S_{AOD} = 16 \cdot \frac{9}{4} = 36.

Пример

Пример 4 (№23). В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = 10, BC = 12. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. Высота AH к основанию является и медианой: BH = 6. AH = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8. S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48. Полупериметр p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16. r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3.

Пример

Пример 5 (№25). В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а средняя линия равна 10. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть ABCD — трапеция, BC \parallel \, AD, AC\bot\, BD. Проведём через C прямую, параллельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке E. Четырёхугольник BCED — параллелограмм (BC \parallel \, DE, BD \parallel \, CE), поэтому DE = BC и CE = BD. В равнобедренной трапеции диагонали равны: BD = AC, значит, CE = AC. Так как AC\bot\, BD и CE \parallel \, BD, то AC\bot\, CE: треугольник ACE — равнобедренный прямоугольный с гипотенузой AE = AD + DE = AD + BC. Высота CH трапеции — это и высота этого треугольника к гипотенузе, она равна половине гипотенузы: CH = \frac{AD + BC}{2} — а это средняя линия, т. е. CH = 10. Площадь: S = \frac{AD + BC}{2} \cdot \, CH = 10 \cdot 10 = 100.

Вывод (запомни): в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии, а площадь — квадрату средней линии.

Пример

Пример 6 (№25). Две окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. Найдите длину отрезка общей внешней касательной между точками касания.

Решение. Пусть O_{1}, O_{2} — центры, A, B — точки касания с общей внешней касательной (O_{1}A = 4, O_{2}B = 9, O_{1}A\bot\, AB, O_{2}B\bot\, AB). Так как окружности касаются внешне, O_{1}O_{2} = 4 + 9 = 13. Проведём O_{1}K\bot\, O_{2}B (K \in \, O_{2}B). O_{1}ABK — прямоугольник, O_{1}K = AB, BK = O_{1}A = 4, O_{2}K = 9 - 4 = 5. Из \bigtriangleup \, O_{1}KO_{2}: AB = O_{1}K = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144} = 12.

Проверка по формуле 2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{4 \cdot 9} = 12 ✓.

Пример

Пример 7 (№25). Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Основания равны 4 и 12. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции.

Решение. Пусть ABCD, BC = 4, AD = 12, O = AC \cap \, BD, прямая EF \parallel \, AD (E \in \, AB, F \in \, CD). Из подобия \bigtriangleup \, BOC \sim \bigtriangleup \, DOA: \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, значит, \frac{BO}{BD} = \frac{1}{4}. Из подобия \bigtriangleup \, BEO \sim \bigtriangleup \, BAD (EO \parallel \, AD): EO = AD \cdot \frac{BO}{BD} = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3. Аналогично OF = 3. Тогда EF = 3 + 3 = 6.

Вывод: длина отрезка равна \frac{2ab}{a + b} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 12}{16} = 6 — среднее гармоническое оснований.

Пример

Пример 8 (№25). Около окружности описана прямоугольная трапеция, боковые стороны которой равны 12 и 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, она и есть высота: h = 12 (меньшая боковая сторона), вторая боковая сторона 13. Так как в трапецию вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: a + b = 12 + 13 = 25. S = \frac{a + b}{2} \cdot \, h = \frac{25}{2} \cdot 12 = 150.

Проверка существования: 13^{2} = 12^{2} + (b - a)^{2} \Rightarrow (b - a)^{2} = 25, b - a = 5; a + b = 25 \Rightarrow \, a = 10, b = 15 — положительные числа, трапеция существует ✓.