Блок 1 из 6 Бесплатно
Теория с примерами
№23 — геометрическая задача на вычисление (повышенный уровень, 2 балла). №25 — геометрическая задача высокого уровня (2 балла). В обеих нужно записать полное решение: что известно, какие факты использованы, вычисления, ответ. По ФИПИ №23 — «наиболее простое» из геометрических заданий части 2, №25 — самое сложное; именно оно требует «элементарных умений исследовательского характера».
Теория: опорные факты для №23 и №25
| Факт | Что даёт |
|---|---|
| Биссектриса угла при стороне параллелограмма/трапеции отсекает равнобедренный треугольник (накрест лежащие углы равны биссектрисой) | AB = BK, равенство отрезков; периметры, стороны |
| Биссектрисы двух углов при боковой стороне трапеции (или односторонних углов параллелограмма) перпендикулярны: \frac{\alpha}{2} + \frac{180^{{^\circ}} - \alpha}{2} = 90^{{^\circ}} | прямоугольный треугольник и теорема Пифагора |
| Подобие: \frac{S_{1}}{S_{2}} = k^{2}, где k — коэффициент подобия | отношения площадей и сторон |
| Диагонали трапеции делят её на подобные треугольники при основаниях: \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} | площади треугольников, отрезки |
| Высота из прямого угла: h^{2} = a_{1}b_{1}, a^{2} = c \cdot \, a_{1}, b^{2} = c \cdot \, b_{1}, где a_{1}, b_{1} — проекции катетов на гипотенузу c | катеты и высота через отрезки гипотенузы |
| Свойство биссектрисы: биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам | \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} |
| Радиус вписанной окружности: r = \frac{S}{p} (p — полупериметр) | для любого треугольника |
| Окружность, вписанная в четырёхугольник: AB + CD = BC + AD | соотношения сторон |
| Касательные из одной точки равны; радиус ⊥ касательной | прямоугольные треугольники, расстояния между центрами |
| Две хорды пересекаются в точке M: AM \cdot \, MB = CM \cdot \, MD | отрезки хорд |
| Теоремы синусов и косинусов (в справочнике): \frac{a}{\sin\, A} = 2R, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\, C | произвольные треугольники |
Как оформлять решение
- Чертёж — крупный, с подписанными данными. Дополнительные построения выдели другим цветом.
- Каждое утверждение — с причиной: «Так как BC \parallel \, AD, то \angle\, AKB = \angle\, KAD (накрест лежащие)». Достаточно названия факта, не надо переписывать теорему.
- Вычисления — подробно, одна строка — одно действие. Подставляй в формулы числа, а не только пиши результат.
- Ответ — отдельной строкой с единицами, если они есть в условии.
- Если задача допускает два случая расположения (например, хорды по разные стороны от центра) — рассмотри оба.
Лайфхак
ФИПИ рекомендует: «записывать решения по возможности кратко, не вдаваясь в излишние подробности, но не используя сокращений или символов, отличных от общепринятых». Два-три предложения с обоснованием лучше страницы «воды».
Из мира игр и аниме
Дополнительное построение — это как «подсказка» или «карта» в игре: ты проводишь прямую, которой раньше не было, и вдруг головоломка решается. Попробуй три «подсказки»: параллель, высота, продолжение стороны до пересечения.
Как решать
1. Нарисуй чертёж по условию. Подпиши числа. Спроси: «что известно про каждый четырёхугольник/треугольник?».
2. Составь список фактов (равные углы, подобные треугольники, прямые углы, равные отрезки).
3. Выбери «ключ»: параллель → подобие или равные углы; биссектриса → равнобедренный треугольник; окружность → вписанные углы или радиусы; площадь → метод площадей.
4. При необходимости сделай дополнительное построение (параллельная прямая, высота, продолжение).
5. Составь цепочку: из данного найди вспомогательное, затем искомое. Проверь, нет ли второго случая.
6. Запиши решение и проверь вычисления («пересчитай ещё раз»: вычислительная ошибка — это 1 балл вместо 2).