Функции и графики — Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Парабола y = ax^{2} + bx + c: ось симметрии x = - \frac{b}{2a}. Если знаешь две точки с одинаковой ординатой, ось проходит ровно по середине между ними.

Для y = \frac{k}{x} полезно помнить точки (1;k) и ( - 1; - k): сразу видно, в каких четвертях лежат ветви.

В №22 сначала нарисуй график простым карандашом, потом обведи. Особенно аккуратно — «дырки».

Если ответ — «ровно одна точка» или «ровно две точки», обычно получаются отдельные значения m и один–два промежутка.

Из мира игр и аниме

Парабола — это траектория прыжка в платформерах (Марио, Hollow Knight): вверх, остановка в вершине, вниз. Вершина — это «самая высокая точка прыжка» (максимум), а нули — места, где персонаж стоит на земле.

Разобранные примеры

Пример 1 (№11). Установите соответствие между графиками и формулами: 1) y = 3 - x^{2}; 2) y = \frac{4}{x}; 3) y = 1 - x.

Пример

Решение. А: две ветви в I и III четвертях — это гипербола y = \frac{k}{x} с k > 0 → формула 2. Б: прямая, убывающая, пересекает Oy в точке (0;1) → y = 1 - x → формула 3. В: парабола с ветвями вниз и вершиной (0;3) → y = 3 - x^{2} → формула 1.

Ответ: 231.

Пример 2 (№22, кусочная функция). Постройте график функции $y = \left{ \begin{aligned} x + 1, & x < 1, \

• x^{2} + 4x, & x \geq 1. \end{aligned} \right.$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Пример

Построение. 1) При x < 1 — прямая y = x + 1. Точки: ( - 3; - 2), (0;1), (1;2) — конец выколот (при x = 1 формула уже другая). 2) При x \geq 1 — парабола y = - x^{2} + 4x, ветви вниз, вершина x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1)} = 2, y_{0} = - 4 + 8 = 4. Точки: (1;3) — закрашена, (2;4), (3;3), (4;0).

Считаем точки. Особые m: 2 (выколотая точка), 3 (левый конец параболы), 4 (вершина). При m < 2: прямая даёт 1 точку, парабола — 1 (правая ветвь), всего 2. При m = 2: прямая точки не даёт (x = 1 выколота), парабола — 1; всего 1. При 2 < m < 3: только парабола, 1 точка. При m = 3: парабола в точках x = 1 и x = 3 — 2 точки. При 3 < m < 4: парабола даёт 2 точки. При m = 4 — 1 точка (вершина). При m > 4 — нет.

Ответ: m < 2 или 3 \leq \, m < 4.

Пример 3 (№22, модуль). Постройте график функции y = x^{2} - 4|x| + 3 и определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Пример

Раскрываем модуль. При x \geq 0: |x| = x, y = x^{2} - 4x + 3 (вершина (2; - 1), корни 1 и 3, y(0) = 3). При x < 0: |x| = - x, y = x^{2} + 4x + 3 (вершина ( - 2; - 1), корни - 1 и - 3). График симметричен относительно Oy: «буква W».

Особые m : - 1 (два минимума) и 3 (максимум в точке (0;3) на оси). Таблица: m < - 1 — 0 точек; m = - 1 — 2; - 1 < m < 3 — 4; m = 3 — 3 (две ветви + точка на оси); m > 3 — 2.

Ответ: m = 3.

Пример 4 (№22, дробь с «дырками»). Постройте график функции y = \frac{x^{4} - 5x^{2} + 4}{(x - 1)(x + 2)} и определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пример

Упрощаем. Числитель: x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x^{2} - 1)(x^{2} - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2). Сокращаем на (x - 1)(x + 2): y = (x + 1)(x - 2) = x^{2} - x - 2 при x \neq 1, x \neq - 2.

Строим. Парабола y = x^{2} - x - 2, вершина x_{0} = 0{,}5, y_{0} = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = - 2{,}25; пересечения с Ox: x = - 1 и x = 2; y(0) = - 2. Выколоты точки с x = 1: y = 1 - 1 - 2 = - 2, и x = - 2: y = 4 + 2 - 2 = 4. Точки (1; - 2) и ( - 2;4) — пустые кружки.

Считаем. При m < - 2{,}25 — нет точек. При m = - 2{,}25 — одна (вершина). При m > - 2{,}25 — вообще две, но: при m = - 2 одна из двух точек — выколотая (x = 1), остаётся одна; при m = 4 одна из двух точек — выколотая (x = - 2), остаётся одна.

Ответ: m = - 2{,}25, m = - 2, m = 4.

Ловушка

В №22 с дробью нельзя забывать выколотые точки: именно ради них задачу и придумали. Если не заметить, что m = - 2 и m = 4 дают одну точку, а не две, потеряешь часть ответа и балл.