Функции и графики: Теория с примерами — задания 11, 22 ОГЭ по математике

№11 — установить соответствие между графиками и формулами (1 балл, ответ — три цифры). №22 (часть 2, 2 балла) — построить график функции и по нему определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком заданное число общих точек.

Теория с примерами

1. Три основные функции и как их узнавать

Рис. 4. Основные виды графиков в задании №11.

Функция	График	Что смотреть
y = kx + b	прямая	k — наклон: k > 0 растёт, k < 0 убывает; b — где пересекает ось Oy (точка (0;b)); k = 0 — горизонтальная прямая
y = \frac{k}{x}	гипербола (две ветви)	k > 0 — ветви в I и III четвертях; k < 0 — во II и IV; графики не пересекают оси; чем больше \|k\|, тем дальше ветви от осей
y = ax^{2} + bx + c	парабола	a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; вершина x_{0} = - \frac{b}{2a}; c — пересечение с Oy; корни — пересечение с Ox
y = \|x\|	«галочка»	ветви симметричны относительно оси Oy

Лайфхак

Метод «две точки». Для линейной функции хватит двух точек — удобнее всего пересечения с осями: при x = 0 получаем b, при y = 0 получаем x = - \frac{b}{k}. Для параболы: вершина, точка пересечения с Oy, симметричная ей точка относительно оси параболы.

2. Сдвиги и преобразования графиков

y = f(x) + c — график сдвигается вверх на c (вниз при c < 0).
y = f(x - a) — график сдвигается вправо на a (влево при a < 0): y = (x - 2)^{2} — это y = x^{2}, сдвинутая вправо на 2.
y = - f(x) — отражение относительно оси Ox.
y = |f(x)| — часть графика ниже оси Ox отражается вверх, остальное остаётся.
y = f(|x|) — часть при x \geq 0 остаётся, а слева рисуется её зеркальное отражение относительно Oy.

3. Кусочные функции и «выколотые» точки

Функция, заданная разными формулами на разных промежутках, строится по кускам: на каждом промежутке — свой график, ровно на этом промежутке. Конец промежутка: если неравенство строгое (<, >) — точка выколота (пустой кружок); если нестрогое (\leq, \geq) — точка принадлежит графику (закрашена). Если дробь можно сократить, то после сокращения у графика остаются «дырки» в тех x, где знаменатель исходной дроби был равен нулю.

4. Прямая y = m и число общих точек

Горизонтальная прямая y = m пересекает график в стольких точках, сколько решений имеет уравнение f(x) = m. Мысленно двигай линейку снизу вверх по значению m и считай пересечения. Ответ меняется только в «особых» местах: вершины, выколотые и граничные точки. Эти значения m проверяй отдельно: попадают ли они в ответ.

Запомни

Особые значения m: ординаты вершин (локальные максимумы и минимумы), ординаты выколотых точек и концов кусков, ординаты точек разрыва. Между соседними особыми значениями число пересечений не меняется.

Как решать

№11:

1. Определи тип каждого графика (прямая, гипербола, парабола). Соотнеси с типом формулы.

2. Если формул одного типа несколько — различай по знаку (k, a) и по пересечению с Oy (b, c).

3. Проверь одной точкой: подставь x = 0 или x = 1 и посмотри на график.

4. Запиши цифры по порядку А, Б, В.

№22:

1. Упрости формулу (разложи, сократи, раскрой модуль) и запиши, на каких промежутках что получилось. Выпиши «выколотые» точки.

2. Построй каждый кусок: таблица из 5–7 точек, вершина параболы, асимптоты гиперболы. Отметь концы промежутков.

3. Определи «особые» значения m и запиши таблицу: сколько общих точек при каждом m.

4. Дай ответ, проверив особые значения отдельно.

Функции и графики — Теория с примерами