Лайфхаки и разобранные примеры

Лайфхаки

Лайфхак

Квадраты, которые стоит помнить: 11^{2} = 121, 12^{2} = 144, 13^{2} = 169, 14^{2} = 196, 15^{2} = 225, 16^{2} = 256, 17^{2} = 289, 18^{2} = 324, 19^{2} = 361, 25^{2} = 625.

(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4ab. Например, (x + 4)^{2} - (x - 4)^{2} = 16x — без раскрытия скобок.

Выражение со степенью n в показателе, например \frac{3^{n + 2} - 3^{n}}{3^{n - 1}}: вынеси общий множитель 3^{n} и сократи; значение не зависит от n.

Проверка в №12: подставь найденное значение в формулу — должно получиться исходное число.

Разобранные примеры

Пример

Пример 1 (№8). Найдите значение выражения \frac{2^{- 4} \cdot 8^{3}}{4^{- 1}}.

Приводим к основанию 2: 8^{3} = (2^{3})^{3} = 2^{9}; 4^{- 1} = (2^{2})^{- 1} = 2^{- 2}. Тогда \frac{2^{- 4} \cdot 2^{9}}{2^{- 2}} = 2^{- 4 + 9 - ( - 2)} = 2^{7} = 128.

Пример

Пример 2 (№8). Найдите значение выражения (\sqrt{18} - \sqrt{2})^{2}.

Способ 1 (ФСУ): 18 - 2\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} + 2 = 20 - 2\sqrt{36} = 20 - 12 = 8.

Способ 2 (вынести множитель): \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, значит, (3\sqrt{2} - \sqrt{2})^{2} = (2\sqrt{2})^{2} = 4 \cdot 2 = 8. Совпало.

Пример

Пример 3 (№8, буквенное). Найдите значение выражения \frac{(a - 3)^{2} - (a + 3)^{2}}{a} при a = - 0{,}25.

Числитель — разность квадратов: (a - 3 - a - 3)(a - 3 + a + 3) = ( - 6)(2a) = - 12a. Дробь: \frac{- 12a}{a} = - 12 (при a \neq 0). Ответ - 12 — от значения a не зависит. Подставлять - 0{,}25 не нужно!

Пример

Пример 4 (№12). Площадь трапеции S = \frac{a + b}{2} \cdot \, h. Найдите h, если S = 84, a = 5, b = 9.

Подставляем: 84 = \frac{5 + 9}{2} \cdot \, h = 7h. Значит, h = 84:7 = 12.

Пример

Пример 5 (№12). Скорость тела вычисляется по формуле v^{2} = {v_{0}}^{2} + 2as. Найдите путь s (в метрах), если v = 20 м/с, v_{0} = 10 м/с, a = 5 м/с².

400 = 100 + 10s, откуда 10s = 300, s = 30 м. Проверка: 100 + 2 \cdot 5 \cdot 30 = 400 ✓.