Блок 1 из 9 Бесплатно
Теория с примерами
№8 — значение выражения со степенями, корнями, формулами сокращённого умножения (1 балл). №12 — расчёты по формуле: подставить числа или выразить одну величину через другие (1 балл).
Теория с примерами
1. Степени
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Произведение с одним основанием | a^{m} \cdot \, a^{n} = a^{m + n} | 2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128 |
| Частное с одним основанием | \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} | \frac{5^{9}}{5^{7}} = 5^{2} = 25 |
| Степень степени | (a^{m})^{n} = a^{mn} | (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729 |
| Степень произведения | (ab)^{n} = a^{n}b^{n} | (2 \cdot 5)^{3} = 1000 |
| Степень дроби | (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} | (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} |
| Нулевая и отрицательная степень | a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} | 5^{- 2} = \frac{1}{25}, (\frac{1}{2})^{- 3} = 8 |
Лайфхак
Главный приём №8 — свести всё к простым основаниям. 6 = 2 \cdot 3, 10 = 2 \cdot 5, 12 = 2^{2} \cdot 3, 15 = 3 \cdot 5, 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5, 4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}, 9 = 3^{2}, 27 = 3^{3}, 25 = 5^{2}. Дальше всё сокращается само.
Пример
\frac{6^{9} \cdot 5^{7}}{30^{7}}: 30^{7} = (6 \cdot 5)^{7} = 6^{7} \cdot 5^{7}. Тогда \frac{6^{9} \cdot 5^{7}}{6^{7} \cdot 5^{7}} = 6^{9 - 7} = 6^{2} = 36.
2. Корни
- \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} и \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} при a \geq 0, b > 0.
- (\sqrt{a})^{2} = a при a \geq 0; \sqrt{a^{2}} = |a| (модуль!, не просто a).
- Вынести множитель: \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}. Внести множитель: 3\sqrt{5} = \sqrt{45}.
- Складывать можно только «одинаковые» корни: 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}, но \sqrt{2} + \sqrt{3} — это уже не \sqrt{5}.
Ловушка
\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}: слева \sqrt{25} = 5, справа 3 + 4 = 7. Корень из суммы не равен сумме корней.
3. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)
| Название | Формула |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} |
| Квадрат разности | (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} |
| Разность квадратов | a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) |
Пример
(\sqrt{13} - \sqrt{5})(\sqrt{13} + \sqrt{5}) = (\sqrt{13})^{2} - (\sqrt{5})^{2} = 13 - 5 = 8.
(\sqrt{7} + 2)^{2} - 4\sqrt{7} = 7 + 4\sqrt{7} + 4 - 4\sqrt{7} = 11: «кроссовые» слагаемые сократились.
\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 при x \neq 3. Значение при x = 2{,}5 равно 5{,}5.
Из мира игр и аниме
ФСУ — как комбо-приём в Dark Souls: выучил один раз, а дальше «откатываешься» из тяжёлых выражений в лёгкие. Разность квадратов — это быстрый перекат, который спасает от длинного умножения.
4. Расчёты по формулам (№12)
В №12 дана формула и значения всех величин, кроме одной. Алгоритм: выписать формулу → подставить числа → решить уравнение относительно неизвестной величины. Если неизвестная стоит «внутри» (например, I в P = I^{2}R), сначала удобно выразить её буквенно, а потом считать.
Пример
P = I^{2}R, P = 486 Вт, R = 6 Ом. Найти I. I^{2} = \frac{P}{R} = \frac{486}{6} = 81, I = 9 А (сила тока в задаче положительна).
C = \frac{5}{9}(F - 32), F = - 4: C = \frac{5}{9} \cdot ( - 36) = - 20. (Сначала скобка, потом умножение.)
S = v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}, v_{0} = 3, t = 6, a = 2: S = 18 + \frac{2 \cdot 36}{2} = 18 + 36 = 54. Квадрат берём только у t.
Как решать
№8:
1. Если степени — разложи основания на простые множители и собери одинаковые.
2. Если корни — вынеси множители из-под корня или примени ФСУ.
3. Если буквы — разложи числитель/знаменатель на множители и сократи, не забыв x \neq \ldots.
4. Подставь значение (если оно дано) в упрощённое выражение, а не в исходное.
№12:
1. Выпиши формулу. Подпиши, какие величины даны.
2. Подставь числа с единицами измерения, возводи в степень только то, что стоит в степени.
3. Реши получившееся простое уравнение. Если нужно извлечь корень, отрицательный ответ (скорость, сила тока) отбрасывай.
4. Запиши ответ в тех единицах, которых просят.
Практика
Хочешь проверить себя?
Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.
Зарегистрироваться Войти